第1课时 角的平分线的性质(1)
教学设计(一)
教学目标
1．能用三角形全等的知识，解释角的平分线的性质．
2．会用尺规作一个已知角的平分线，会用角的平分线的性质解决简单的推理论证问题．
3．经历画图、观察、比较、推理、交流等环节，从而获得正确的学习方式和良好的情感体验．
教学重难点
尺规作已知角的平分线以及角平分线的性质是重点，灵活应用角的平分线的性质解决问题是难点．
教学过程
导入新课
〈方式1〉
【复习提问】 三角形中有哪些重要线段？你能作出这些线段吗？
讨论结果：三角形中有三条重要线段，它们分别是三角形的高、三角形的角平分线、三角形的中线(重点作角平分线)．
【提出问题】如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮老师设计一个作角的平分线的方案吗？
〈方式2〉
【情景导入】
生活中有很多数学问题：小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P点，要从P点建两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连．
问题1：怎样修建管道最短？
问题2：新修的两条管道长度有什么关系？
推进新课
学生阅读教材本节探究，说明其中的原理(利用“边边边”)．
【活动1】 尺规作已知角的平分线的方法．
学生活动：观察平分角的仪器，画出几何图形，分析点C的位置特点，进行讨论，经过讨论发现：(1)CD＝CB；(2)AD＝AB，可以利用“SSS”得到△ADC≌△ABC，进而得到∠DAC＝∠BAC.
教师活动：组织学生独立操作、思考，在此基础上进行讨论，鼓励学生大胆发言，并对自己的看法作出判断，最后归纳尺规作已知角的平分线的方法，解决课前问题．
活动结论：
已知：∠AOB.
求作：∠AOB的平分线．
作法：(1)以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA，OB于M，N.
(2)分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
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(3)作射线OC，射线OC即为所求．
【活动2】 如图，将∠AOB的两边对折，再折个直角三角形(以第一条折痕为斜边)，然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得到什么结论？你能利用所学过的知识，说明你的结论的正确性吗？
学生活动：首先独立操作，然后观察操作后的图形，进行讨论，经过讨论发现，折痕DP和折痕PE与其他边有着特殊的关系：(1)PD⊥OA，PE⊥OB；(2)PD＝PE，最后寻找上述结论成立的理由：(1)由折叠过程可以得到；(2)可以利用三角形全等的条件得到，△OPD≌△OPE，进而得到PD＝PE.
教师活动：组织学生独立操作、思考，在此基础上进行讨论，鼓励学生大胆发言，并对自己的看法作出判断，最后引导学生归纳角平分线的性质．
角平分线上的点到角两边的距离相等．
用数学语言表示：
∵OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE(角平分线上的点到角两边的距离相等)．
【活动3】我们利用三角形全等证明上述性质．
学生活动：学生独立思考，自主探索，结合图形，先用符号和语言表示已知和求证，然后寻找全等三角形，利用三角形全等解决问题．
教师活动：引导学生对几何符号和语言的描述，注重学生语言的准确性和简洁性．
活动结论：
(1)分清题中的“已知”为“一个点在一个角的平分线上”，结合图形，用符号表述为“已知：∠AOC=∠BOC，点P在OC上”．
(2)分清题中的“求证”为“这个点到这个角两边的距离相等”，结合图形，需在已知中添上“PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E”，“求证”用符号表述为“求证：PD=PE”．
(3)考虑证明Rt△OPD≌Rt△OPE，即可得到PD=PE.
(4)证明过程如下：
如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD=PE.
(教师板书以下过程，略)
【归纳】 一般情况下，要证明一个几何中的命题，会按照以下步骤进行：
(1)明确命题中的已知和求证；
(2)根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
(3)经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．
本课小结
我们学习了尺规作已知角的平分线的方法以及关于角平分线的性质——角平分线上的点到角的两边的距离相等，利用这个性质可以解决与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，今后就不必再去证明三角形全等而得出线段或角相等．
教学设计(二)
学习目标
1．了解平分角的仪器的制作方法，应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理．
2．会用尺规作一个已知角的平分线．
3．掌握角的平分线的性质及其应用．
学习过程
课前回顾
1．全等三角形的判定方法：
全等三角形的判定方法：SSS，ASA，AAS，SAS，针对直角三角形：HL.
2．全等三角形的性质：
全等三角形对应边相等，对应角相等．
3．如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？
课内探究
知识点1.角平分线的作法
探究1.分析课前回顾问题3，并进行解答．
分析：要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD＝∠CAB.∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了．
看看条件够不够.Error!
所以△ABC≌△ADC(SSS)．
所以∠CAD＝∠CAB，
即射线AC就是∠DAB的平分线．
探究2.根据刚才的探究，讨论如何作已知角的平分线．
作已知角的平分线的方法：
已知：∠AOB.
求作：∠AOB的平分线．
作法：(1)以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA，OB于M，N.
(2)分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C.
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(3)作射线OC，射线OC即为所求．
拓展思考
1．在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的长”这个条件行吗？
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2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？
答案：1.去掉“大于MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的
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平分线．
2．若分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB的内
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部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．
3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可．
小试牛刀：教材19页练习题．
知识点2.角平分线的性质
实验探究：
1．在准备好的三角形的每个顶点上标好字母A，B，C.把角A对折，使得这个角的两边重合．
2．在折痕(即平分线)上任意找一点O.
3．过点O折AC边的垂线，得到新的折痕OD，其中，点D是折痕与AC的交点，即垂足．
4．将纸打开，新的折痕与AB边交点为E.
问题：(1)OD与OE相等吗？
(2)用逻辑推理的方法来说明OD＝OE.
得到结论：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
用数学语言表示：
∵AO平分∠BAC，OE⊥AB，OD⊥AC，
∴OE＝OD(角平分线上的点到角两边的距离相等)．
牛刀小试：
如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E.求证：PD=PE.
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°.
在△PDO和△PEO中，
,,,PDOPEOAOCBOCOPOP
∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD=PE.
本课小结
1．用尺规作已知角的平分线．
2．角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．
当堂测试
1．到三角形的三边距离相等的点是三条________的交点．
答案：角平分线
2．在△ACB中，∠C＝90°，BC＝8 cm，∠BAC的平分线交BC于点D，且BD∶DC＝5∶3，则点D到AB的距离是________．
答案：3 cm
3．如图所示，O是△ABC的三条角平分线的交点，已知△ABC的周长为20，面积为30，则点O到AB的距离为________．
答案：3
4．三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，问可供选择的地方有________处．
答案：四
课后拓展
A组
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是∠B的平分线，若∠BDC＝72°，则∠A＝(    )．
A．16°          B．36°            C．48°                  D．60°
答案：B
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，则下列四个结论：①AD上任意一点到点C，点B的距离相等；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BD＝CD，AD⊥BC；④∠BDE＝∠CDF.其中，正确的个数是(    )．
A．1            B．2               C．3                  D．4
答案：D
3．在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，若∠BOC＝130°，则∠A＝________.
答案：80°
4．已知：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BD＝CD，求证：∠B＝∠C.
证明：因为AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，所以DE＝DF.
在Rt△DEB与Rt△DFC中，BD＝CD，DE＝DF，所以Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)．
所以∠B＝∠C.
B组
5．如图，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，AB＝32 cm，BC＝28 cm，△ABC的面积为144 cm2，求DE的长．
解：过点D作DF⊥AB于F，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，
∴DF＝DE.∴S△ABC＝(AB＋BC)·DE.
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∴DE＝4.8(cm)．